대학 수업 정리/수학1
대학수학1 10장-2 극 좌표계(Polar Coordinates)
민경현(Kyunghyun Min)
2020. 7. 4. 18:14
10.3. Polar Coordinates(극 좌표계)
10.3.0. 핵심 아이디어
θ와 r로 이루어진 직교 좌표계에서,
θ축을 기준으로 θ=c를 공간좌표에서 c rad 만큼 회전하고
θ축의 수직이며 θ=0을 포함하는 평면에 회전한 직선들을 정사영한 것으로 볼 수 있다.
10.3.1. 용어 정의
cartesian coordinates(직교좌표) : (x,y)
-
pole(극) : 원점 O
-
polar axis(극축) : 양의 방향의 x축
-
r : O와P사이 거리
-
θ: 선분 OP와 극축 사이 각; 반시계 방향이 양의 방향이다.
-
polar coordinates(극좌표) : (r, θ)
10.3.2. 극좌표의 성질
10.3.2.1. 극좌표의 주기성
직교 좌표계에서는 모든 점이 unique하게 표현된다.
극 좌표계에서는 여러 형태로 표현할 수 있다.
(r, θ) = (r, θ + 2π) = (-r , θ +π)
10.3.2.2. 극 좌표에서 두 점 사이의 거리

즉, 제2 코사인 법칙을 이용
10.3.2. 직교 좌표, 극 좌표 변환
10.3.2.1. 극 좌표에서 직교 좌표로 변화
x = r cosθ
y = r sinθ
10.3.2.2. 직교 좌표에서 극 좌표로 변환
r2 = x2 + y2
tanθ = y / x
주로 r은 양수로 표현해준다.
θ은 x의 부호에 따라 다르다.
예제
직교 좌표 (1, -1) → 극좌표?
r2 = 2
tanθ = -1
(1,-1)가 3사분면에 있으므로 θ = 7/4 π 또는 - π/4
10.3.3. Polar Curve
graph of a polar equation
r = f(θ)
일반식 : F(r, θ) = 0
예제
극 방정식 r=2
⇔ x2 + y2 = 4
극 방정식 θ=1(rad)
⇔ y = tan1 x
10.3.4. 대표 극 방정식
10.3.4.0. 그리는 방법
일단 직관이 안 생겼으므로 직접 특수각에서의 점들을 찍어봐야 한다.
10.3.4.1. r = 2cosθ
(x-1)2 + y2 = 1
10.3.4.2. cardioid(하트형)
r = 1 ± sinθ ; r = 1 ± cosθ
원에 외접하는 임의의 한 원이 주어진 원의 곡면을 따라 회전할 때, 외접원 위의 임의의 한 점이 그리는 자취
아래 그래프는 r = 2-cos(-θ)
10.3.4.3. r = cos2θ
10.3.5. Tengants to Polar Curves
주의)
같은 θ값에 의해 분모와 분자가 둘 다 0으로 가면
연속 여부를 따져야 한다.
예) r = 1+sinθ 에서 θ = 3/2 π 에서 첨점이 발생한다.
10.4. Length and Area in Polar Coordinates
10.4.1. Length
10.4.2. Area

(단, 0 < b-a ≤ 2π ∵ 겹치면 안되므로 )
증명
∆θ = (θ나중 - θ처음)/ n
∆Ai = 1/2 ( f(θi*) )2 ∆θ
문제 풀 때) 대칭성을 활용해서 넓이를 구하라
10.4.3. 극 좌표계에서 Area와 직교 좌표계에서 x축에 대한 모멘트 Mx
공식을 보면 똑같은 결과가 나온다!
벌써 거리에 대한 비율이 극 좌표계에 반영되어 있다.
10.4.4. 극 좌표계에서 교점
r = cos2θ와 r = 1/2 의 교점을 구해보자
보통 직교 좌표계에서 이것을 생각할 것이다.
하지만 r = 1/2 과 r = - 1/2 같은 그래프이므로
r= -1/2과 의 교점도 고려해야 한다.
반면, 극 좌표계에서는 각각의 개형만 알면 교점의 개수를 쉽게 구할 수 있다.
왜냐하면 벌써 이중성을 고려하고 있기 때문이다.