대학수학1 6장 역함수(Inverse Functions)

역삼각함수, 쌍곡함수, 부정형, 로피탈 법칙에 대해 정리합니다.

6.6. Inverse Trigonometric Function(역삼각함수)

일대일 함수를 만들기 위해서 범위를 제한한다.

• arcsin x 또는 sin^-1 x
• arccos x 또는 cos^-1 x
• arctan x 또는 tan^-1 x

domain(정의역)  rage(치역)  horizontal asymptote(수직 점근선)

6.6.1.역함수 구간

 

 

 

 

6.6.2. 미분

증명은 음함수 미분으로 한다.

 

tan^-1x의 미분은 모르면 적분 못 한다.

 

 

 

 

6.7. Hyperbolic Function (쌍곡선 함수)

sinh x = (e^x - e^-x) / 2

cosh x = (e^x + e^-x) / 2

tanh x = sinh x /cosh x

 

 

미분

(cosh x)' = sinh x

(sinh x)' = cosh x

(tan x)' = 1/(coshx)²

 

참고)

cosh(x) = cos(xi)

sinh(x) = - i sin(xi)

 

삼각함수의 성질과 거의 비슷하다. 

위키백과 - 쌍곡선 함수 성질

 

6.8. Indeterminate Forms(부정형)

극한 & 미분 가능을 응용한다.

 

6.8.1. 7가지 부정형

⇒ 결국 모두 0/0꼴로 바꾸어 로피탈 정리(미분의 정의)를 사용

 

주의 ) 0^∞ 꼴 = 0 부정형 아님 

 

6.8.2. L'Hospital's Rule(로피탈 법칙)

로피탈 법칙은 0/0 꼴과 ∞ / ∞꼴 에 대해서만 정의 되어 있다.

증명

미분 정의 사용

로피탈 정리 증명

로피탈 정리를 사용 표기법

 

 

 

6.8.3. 0 / 0 꼴

f,g 미분가능, lim_x→af(x)=0,  lim_x→ag(x)=0, y = f/g  →

 

 

 

6.8.4. ∞ / ∞꼴

 

 

방법

0/0꼴로 바꾸어 증명 

lim f/g = lim (1/f) / (1/g)

 

ln(x), x , e^x 속도 비교

lim_x→1ln(x) / (x-1) = lim 1/x = 1   // 의미: 증가 속도 같은 근사로 볼 수 있다.

lim_x→∞e^x/x² = lim e^x/2x = lim e^x/2 = ∞

6.8.5. 0 x ∞  꼴

방법

f * g = f / (1/g)

0/0꼴 또는 무한대/무한대 꼴로 만들어 로피탈 법칙 사용

주의

미분 쉽게 되도록 바꾸기

 

6.8.6. ∞ - ∞ 꼴 

직감 필요

 

6.8.7. Indeterminate Powers

0⁰ 꼴  //  ∞⁰ 꼴  //  1^∞ 꼴

방법

식에 로그 취하여 지수를 곱하기 꼴로 바꾸기

ln(y) = g(x) * ln(f(x))

 

[f(x)]^g(x) = exp( g(x) * ln (f(x)) )    

g(x) * ln (f(x)) ⇒ 0x∞ 꼴