대학수학1 8장 질량 중심(Center of Mass)

8.3 적분에서 Center of Mass(질량 중심)

물리의 질량 요소를 적용하여 적분 방법 확장 → 파푸스 굴딘의 정리

8.3.1. (모멘트와) 질량중심(Centroid)

지렛대(시소) 원리 (law of lever)

원점에 대해서 정의

질량중심 = 원점에 대한 시스템 모멘트 / 질량의 합

직교좌표계에서 정의

M : 질량의 모멘트

주의

다른 축을 기준으로 모멘트를 구함

M_x는 x축과 떨어진 거리를 생각한다.

8.3.2.차원에 따른 밀도 정의

ρ(density)

= (1차원) m/ 길이

= (2차원) m/ 넓이

= (3차원) m/ 부피

 

참고

물리에서는 각 차원에서 밀도를 서로 다른 문자로 표기한다.

(1)λ, (2)σ, (3)ρ 

물리1-10장 고정축에 대한 강체의 회전 - 10.6.2

 

8.3.3. Symmetric Principle(대칭성원리)

lamina 또는 flat plate(얇은 판)

 

균일한 밀도를 갖는 얇은 판에서

영역 ℛ이 직선 l에 대칭이면 질량중심이 직선 l 위에 있다.

 

적분에 적용하기 위해 밀도가 균일하다고 가정

 

8.3.4. 적분 영역의 질량중심 구하기

방법

구분구적법에서 자른 각 직사각형의 질량중심을 찾는다.

직사각형에서 질량중심은 직사각형의 중심이다.

 

결과

증명

한 직사각형

중심 : C_i( x^*_i  ,  f(x^*_i) / 2 )

질량 : ρ f(x^*_i) Δx

y축에 대한 moment : M_y= x_i [ρ f(x^*_i) Δx]

 

 

m = ρA

 

8.3.5. Theorem of Pappus( 파푸스 굴딘의 정리)

torus (도넛 모양) 의 부피, 겉넓이를 쉽게 구할수 있다.

정리

torus의 부피     =  단면의 넓이  * 질량중심이 움직인 거리

torus의 겉넓이 =  단면의 둘레  * 질량중심이 움직인 거리

증명

cylindrical shells method이용