대학수학1 7장 적분 기술(Techniques of Integration)

삼각함수 적분, 삼각치환 적분, 유리함수 적분, 이상 적분에 대해 설명합니다.

7.1. Integration by Parts (부분적분)

Product Rule(곱의 미분) 응용

7.2. Trigonometric Intergrals

대표 심화 적분 방법

sin과 cos의 거듭제곱 의 합 꼴

둘 중 하나가 홀수 →  sin²x + cos²x = 1 이용 

둘 다 짝수           → 반각공식 이용  sin²x = (1-cos 2x)/2

 

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C // 분모 분자 (secx + tanx) 곱하기

∫sec³x dx - 심화

 

7.3. trigonometric substitution(삼각치환)

7.3.1. 삼각치환 꼴

치환할 때 sin²θ+ cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ  을 생각 하면서 치환하면 편하다.

 

범위 설정은 역삼각함수를 사용하기 위함이다.

 

7.3.2. 적분 결과 θ가 나오는 상황

θ를 x에 대한 식으로 바꾸려 할 때 cos(tan-¹x ) 같은 식이 나온다.

이때 삼각형을 그려서 구하면 쉽다.

 

7.4. Integration of Rational Functions (유리함수 적분)

7.4.1. 결과물

부분 분수의 합으로 바꾸어 계산한다.

 

partial fraction(부분분수)

7.4.2. 다항식에서 분수 종류

proper rational function(진분수)

분모의 차수가 클 때

improper rational function(가분수)

분자의 차수가 크거나 같을 때

 

fraction 분수

degree 차수 - 표현법 :  deg F(x)

denominator(분모)

numerator(분자) 

factor(인수)

 

7.4.3. 적분 방법

1.가분수 → 진분수(대분수)

2.분모 인수분해

3.인수의 차수에 따라 정해진 표현방식에 따른 부분분수로 쪼개기

4.부분분수에 있는 임의의로 정한 상수의 값을 찾는다.

 

3번 작업의 쪼개는 방법

i)인수가 1차식

A / (ax + b) 

 

ii) 인수가 1차식의 거듭제곱 형태

3 제곱 일때

A / (ax + b) + B / (ax+b)² + C / (ax+b)³

 

iii) 인수가 2차식인 경우

(Ax + B) / (ax² + bx + c)

 

적분 처리 방식 : 

주로 이용한다.

분모의 x의 계수가 0이 아닐 때는 완전 제곱식으로 만들어 삼각치환

 

7.8. Improper Integrals (이상적분, 특이적분)

7.8.1. 이유

적분 함수의 정의역의 범위의 따라

정적분의 조건을  만족시키지 않는 적분이 있다.

이들을 새로운 정의를 통해 논리적 해결을 해준다.

 

convergence(수렴)

divergent (발산)

7.8.2. Infinite Intervals에 대한 적분

 

아랙식에서 둘 다 수렴해야 한다.

또한 무한의 증가 속도가 다르기 때문에 따로 계산 해주어야 한다.

 

예제

∫_x=1~∞x^-p dx 

p > 1 : 수렴   1/(p-1)

p ≤ 1 : 발산

 

(11.3.2.)p-series의 수렴 여부 증명을 위해 적분 판정법에 사용된다.

7.8.3. Discontinuous Intervals(불연속 구간)에 대한 적분

f : [a,b) 연속 , b 불연속

f : [a,b]에서 c에서 불연속 a<c<b

∫_x=a~bf(x)dx = ∫_x=a~cf(x)dx + ∫_x=c~bf(x)dx

둘다 수렴해야 한다.

 

분수함수일 때 많이 나온다.

7.8.4. Comparision Test(비교판정법)

x≥a, 0 ≤ g(x)≤ f(x)

∫_x=a~∞f(x) dx :수렴  →   ∫_x=a~∞g(x) dx: 수렴

∫_x=a~∞g(x) dx :발산 →   ∫_x=a~∞f(x) dx: 발산