대학수학1 10장-2 극 좌표계(Polar Coordinates)

10.3. Polar Coordinates(극 좌표계)

10.3.0. 핵심 아이디어

θ와 r로 이루어진 직교 좌표계에서,

θ축을 기준으로 θ=c를 공간좌표에서 c rad 만큼 회전하고

θ축의 수직이며 θ=0을 포함하는 평면에 회전한 직선들을 정사영한 것으로 볼 수 있다.

 

VISUAL Relation of Cartesian Coordinates And Polar Coordinates

출처 :  3b1b - what is the Fourier Transform

 

10.3.1. 용어 정의

cartesian coordinates(직교좌표) : (x,y)

 

• pole(극) : 원점 O
• polar axis(극축) : 양의 방향의 x축

 

• r : O와P사이 거리
• θ: 선분 OP와 극축 사이 각; 반시계 방향이 양의 방향이다.
• polar coordinates(극좌표) : (r, θ)

 

10.3.2. 극좌표의 성질

10.3.2.1. 극좌표의 주기성

직교 좌표계에서는 모든 점이 unique하게 표현된다.

극 좌표계에서는 여러 형태로 표현할 수 있다.

 

(r, θ) = (r, θ + 2π) = (-r , θ +π)

 

10.3.2.2. 극 좌표에서 두 점 사이의 거리

즉, 제2 코사인 법칙을 이용

 

10.3.2. 직교 좌표, 극 좌표 변환

10.3.2.1. 극 좌표에서 직교 좌표로 변화

x = r cosθ

y = r sinθ

 

10.3.2.2. 직교 좌표에서 극 좌표로 변환

r² = x² + y²

tanθ = y / x

 

주로 r은 양수로 표현해준다.

θ은 x의 부호에 따라 다르다.

 

예제

직교 좌표 (1, -1) → 극좌표?

r² = 2

tanθ = -1

(1,-1)가 3사분면에 있으므로 θ = 7/4 π 또는 - π/4

 

10.3.3. Polar Curve

graph of a polar equation

r = f(θ)

일반식 : F(r, θ) = 0

 

예제

극 방정식 r=2

⇔ x² + y² = 4

 

극 방정식 θ=1(rad)

⇔ y = tan1 x

 

10.3.4. 대표 극 방정식

10.3.4.0. 그리는 방법

일단 직관이 안 생겼으므로 직접 특수각에서의 점들을 찍어봐야 한다.

 

10.3.4.1. r = 2cosθ

(x-1)² + y² = 1

 

 

10.3.4.2. cardioid(하트형)

r = 1 ± sinθ ; r = 1 ± cosθ

원에 외접하는 임의의 한 원이 주어진 원의 곡면을 따라 회전할 때, 외접원 위의 임의의 한 점이 그리는 자취

 

아래 그래프는 r = 2-cos(-θ)

10.3.4.3. r = cos2θ

 

10.3.5. Tengants to Polar Curves

 

주의)

같은 θ값에 의해  분모와 분자가 둘 다 0으로 가면

연속 여부를 따져야 한다.

 

예) r = 1+sinθ 에서 θ = 3/2 π 에서 첨점이 발생한다.

 

 

 

10.4. Length and Area in Polar Coordinates

10.4.1. Length

10.4.2. Area

(단, 0 < b-a ≤ 2π  ∵ 겹치면 안되므로  )

 

증명

∆θ = (θ_나중 - θ_처음)/ n

∆A_i = 1/2 ( f(θ_i*) )² ∆θ

 

 

문제 풀 때) 대칭성을 활용해서 넓이를 구하라

 

10.4.3. 극 좌표계에서 Area와 직교 좌표계에서 x축에 대한 모멘트 M_x

공식을 보면 똑같은 결과가 나온다!

 

벌써 거리에 대한 비율이 극 좌표계에 반영되어 있다.

 

 

10.4.4. 극 좌표계에서 교점

 

r = cos2θ와 r = 1/2 의 교점을 구해보자

보통 직교 좌표계에서 이것을 생각할 것이다.

 

하지만 r = 1/2 과 r = - 1/2 같은 그래프이므로

r= -1/2과 의 교점도 고려해야 한다.

 

반면, 극 좌표계에서는 각각의 개형만 알면 교점의 개수를 쉽게 구할 수 있다.

왜냐하면 벌써 이중성을 고려하고 있기 때문이다.