대학수학1 11장-2 급수의 수렴 판정법(Convergence Tests of Series)

11.2.3. 수학1에서 배우는 급수의 수렴 판정법

대표적인 급수의 수렴

• (11.2.4)Geometric Series
• (11.3.2)p-Series

수렴 판정법

위키 수렴 판정법

• (11.2.5)Test for Divergence
• (11.3)Integral Test
• (11.4.1)Comparison Test
• (11.4.2)Limit Comparison Test
• (11.5.2.)Alternating Series Test
• (11.6.2.)Ratio Test
• (11.6.3.)Root Test

판정법 순서

• positive series

발산 판정법 → Ratio 판정법 / 근 판정법 → 비교 판정법 / 극한 비교 판정법 → 적분 판정법

• 교대 급수

발산 판정법 → Ratio 판정법 / 근 판정법 → 교대 급수 판정법

 

참고)

SeriesConvTests.pdf

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11.2.4. Geometric Series(기하 급수)

정의

∑ar^n-1

해

|r| < 1 : 수렴    sum:   a / (1-r)

|r| ≥ 1 : 발산

power series 기본 꼴

|x| < 1

11.2.5. Test for Divergence(발산 판정법)

정의

lim_n→∞ a_n이 존재 X 또는 lim_n→∞ a_n ≠ 0  ⇒ ∑a_n 발산

참고) n항 판정법의 대우 명제

n^th Term Test(n항 판정법)

∑a_n 수렴 ⇒ lim_n→∞ a_n = 0

증명

lim_n→∞ a_n =lim_n→∞ (s_n - s_n-1) = 0

11.3. Integral Test

보통 나중에 함, 적분에 용이 할 때 사용

11.3.1. 정의

f :   (1) 연속, (2) positive, (3) 감소

위 식 수렴 ⇔ ∑a_n 수렴

위 식 수렴⇔ ∑a_n 발산

증명

구분 구적법처럼 나누어서 넓이 비교 하면 된다.

11.3.2. p-Series

정의

Harmonic Series(조화 급수)

p=1 일 때

수렴

p ≤ 0 ⇒ 발산 판정법 : 발산

p > 0 ⇒ 적분 판정법

0 < p ≤ 1 : 발산

p > 1 : 수렴

11.4. Comparison Test

11.4.1. Comparison Test(비교 판정법)

정의

b_n ≥ a_n > 0

∑b_n 수렴 ⇒ ∑a_n 수렴

∑a_n 발산 ⇒ ∑b_n 발산

11.4.2. Limit Comparison Test(극한 비교 판정법)

정의

0 < c < ∞               : 같이 수렴 또는 같이 발산 함

c = 0   & ∑b_n 수렴 : ∑a_n 수렴

c = ∞  & ∑b_n 발산 : ∑a_n 발산

비교할 것을 밑에 놓으면 된다.

예제

기준

1/n²    :  발산함

1/n     :  수렴함

1/n^1.5 :  수렴함 OK

11.5. Alternating Series(교대급수)

11.5.1. 정의

부호가 양과 음으로 한번씩 교대로 바뀌는 급수

b_n> 0

an = (-1)^n-1b_n

11.5.2. Alternating Series Test

정의

1. b_n ≥ b_n+1
2. lim_n→∞ b_n = 0

⇒ ∑(-1)^n-1b_n  수렴

증명

b₁ - (b₂-b₃) - (b₄-b₅) ∙∙∙

발산할 때

lim_n→∞ b_n ≠ 0 ⇒ lim_n→∞ a_n ≠ 0  ⇒ ∑a_n 발산

alternating harmonic series

∑(-1)^n-1 / n

활용 형태

∑ cos(nπ) b_n

11.5.3. Alternating Series Estimation Theorem

|R_n| = |s - s_n| ≤ b_n+1

R: 오차

11.6. Absolute Convergence and Ratio Test

11.6.1. 교대 급수의 수렴 유형

11.6.1. Absolutely Convergence(절대 수렴)

∑a_n 수렴 && ∑|a_n| 수렴

 

absolute value 절대값

11.6.2. Conditionally Convergence(조건부 수렴)

∑a_n 수렴 && ∑|a_n| 발산

alternating harmonic series(교대조화급수)

대표적인 조건부 수렴 수열이다.

절대 수렴 ⇒ 수렴 정리

∑a_n 이 절대 수렴 하면 수렴한다.

 

증명) 0 ≤a_n + |a_n| ≤ 2|a_n|  & 비교 판정법

11.6.2. (Absolute) Ratio Test(비 판정법)

L < 1 : ∑a_n 절대 수렴

L > 1 : ∑a_n 발산

L = 1 : 판정 불가(inconclusive)

 

주로 n! 또는 (b_n)ⁿ 꼴에 대해서 사용한다.

 

많이 나옴 lim (1+1/n)ⁿ = e

11.6.3. Root Test(근 판정법)

L < 1 : ∑a_n 절대 수렴

L > 1 : ∑a_n 발산

L = 1 : 판정 불가(inconclusive)

 

주로 (b_n)ⁿ 꼴에 대해서 사용한다.